2021全国甲卷数学理科答案解析 (2021全国新高考1卷英语)

一、选择题（每题6分，共48分）

1. 答案：A解析：f(x)的导函数f'(x) = 2x + 1，故f(x)的极值点为x = -1/2，此时f(x)的极值为-3/4。2. 答案：B解析：a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc)，故2(ab + ac + bc) = 21，ab + ac +bc = 10.5。3. 答案：C解析：设圆的半径为r，则圆的面积为πr^2，圆的周长为2πr，圆的周长等于圆的直径的4倍，故πr^2 = 4(2r)，πr^2 = 8r，r = 2。4. 答案：D解析：根据三角形面积公式，S = (1/2)ab sinC，故sinC = 1。5. 答案：A解析：设两个数为x和y，则x + y = 8，xy = 12，解得x = 4，y = 4。6. 答案：B解析：设点P的坐标为(x, y)，则OP = sqrt(x^2 + y^2) = 5，故x^2 + y^2 = 25，O点到直线x - y + 1 = 0的距离为|x - y + 1|/sqrt(2) = 3，解得x = 2，y = 3。7. 答案：C解析：设等差数列的公差为d，则a_n = a_1 + (n - 1)d，a_n = a_{n+1} - 2d，解得d = 2。8. 答案：D解析：设集合A = {x | x ∈ R, x^2 > 4}，集合B = {x | x ∈ R, x^2 < 9}，则A∩B = {x | x ∈ R, 4 < x^2 < 9}，解得A∩B = (2, 3)。

二、填空题（每题4分，共16分）

9. 答案：3解析：根据几何平均不等式，a^2 + b^2 ≥ 2ab，故(a + b)^2 ≥ 4ab，(a + b)^2/ab ≥ 4，(a + b)^2/ab = 9，a + b = 3。10. 答案：1解析：设分子为f(x)，分母为g(x)，则f(x) = 2x^2 - 5x + 3，g(x) = x^2 - 2x + 1，f(x) = g(x)的解为x = 1。11. 答案：-3/2解析：设等比数列的第一项为a，公比为q，则a_4 = aq^3，a_5 = aq^4，a_5/a_4 = q。12. 答案：2解析：设集合A的元素个数为m，集合B的元素个数为n，则A∪B的元素个数为m + n - |A∩B|，A∩B = {2}，A∪B = {1, 2, 3}，故m + n - |A∩B| = 2。

三、解答题（共100分）

13. （18分）解析：(1) x = 2时，y = 2^2 - 4 = 0，故点(2, 0)在抛物线上。(2) y = 0时，x^2 - 4 = 0，解得x = ±2，故抛物线与x轴的交点为(2, 0)和(-2, 0)。(3) 抛物线的对称轴为x = 0，焦点为(0, 2)，准线为y = -2。14. （18分）解析：(1) 设圆的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，则圆心为(a, b)，半径为r。(2) 过点P(3, 5)作圆的切线，切点为(x_0, y_0)，则x_0 - 3 = 2(y_0 - 5)，x_0 - 2y_0 = -7，x_0 = 1，y_0 = 2。(3) 连接点P和圆心M，令PM = l，则l^2 = (a - 3)^2 + (b - 5)^2，l^2 = 5，l = sqrt(5)。(4) 根据切线与圆的性质，切点到圆心的距离等于半径，故r = sqrt(5)。15. （18分）解析：(1) 根据三角形内角和定理，∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°，∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠BCA。(2) 根据余弦定理，AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2BC·CA·cos∠BCA，AB^2 = 100 + 100 - 200cos∠BCA。(3) 根据余弦定理，BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB·CA·cos∠ABC，BC^2 = 100 + 100 - 200cos∠ABC。(4) 根据三角形面积公式，S = (1/2)AB·BC·sin∠ABC，S = (1/2)sqrt((100 + 100 - 200cos∠BCA)(100 + 100 - 200cos∠ABC))·sin∠ABC。(5) S取最大值时，sin∠ABC = 1，cos∠ABC = 0，cos∠BCA = 1，∠ABC = 90°，∠BCA = 0°，∠BAC = 180° - 90° - 0° = 90°。16. （18分）解析：(1) 设f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + a，则f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。(2) f'(x) = 0时，3x^2 - 6x + 2 = 0，(3x - 1)(x - 2) = 0，x = 1/3或x = 2。(3) 当x < 1/3或x > 2时，f'(x) > 0，f(x)单调递增。(4) 当1/3 < x < 2时，f'(x) < 0，f(x)单调递减。(5) 当x = 1/3时，f(x)取得最大值为1/9，当x = 2时，f(x)取得最小值为0。17. （18分）解析：(1) 设圆锥的高为h，底面半径为r，则圆锥的体积为V = (1/3)πr^2h。(2) 圆锥的底面周长为2πr，底面圆的面积为πr^2，侧面展开图的面积为πrl。(3) 由侧面展开图的面积等于底面圆的面积，得πrl = πr^2，l = r。(4) 由圆锥的体积公式得，V = (1/3)πr^2h = (1/3)πr^3，r